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J.F.Donoghue und B.R.Holstein haben gezeigt, mit Hilfe von elementaren Argumenten aus der Quantenmechanik, dass die renormalisierte Masse für die Temperatur T = 0 durch die
Gleichung mr=m+dmo beschrieben wird, wobei dmo die Temperatur-unabhängige Massenverschiebung ist. Ausserdem, für T > 0 führt die Renormalisierung zu folgenden Gleichungen für schwere- und Trägheitsmasse: mi = m + dmo + dmb ; mg = m + dmo - dmb , wobei dmb die
Temperatur-abhängige Massenverschiebung ist.
Die Gleichung für dmb von Donoghue und Holstein bezieht sich nur auf die Wärmestrahlung. Deswegen ist es notwendig die allgemeine Gleichung für jede Art von
elektromagnetischer Strahlung zu erhalten.
Die Gleichungen für elektromagnetische Wellen in einem absorbierenden Medium,
(1.01) Ñ2E +w2me (1+s /we i)E=0 und Ñ2
H + w2m e( 1+ s /we i)H=0,
äusern die Tatsache dass die elektromagnetischen Felder mit zyklischer Frecvenz w , w =2pf, sich in einem Medium mit elektromagnetischen Eigenschaften, e , m und s verbreiten, mit der Geschwindigkeit
(1.02) v = c{½ermr[(1+(s /we )2) ½+1] }-½
Wenn eine elektromagnetische Strahlung mit Geschwindigkeit v ein unbewegtes Teilchen mit Trägheitsmasse mi schlägt, und U ist die vom Teilchen absorbierte elektromagnetische Energie, dann, gemäß Maxwell’s Voraussagen, ein Moment q=U/v wird auf das Teilchen übertragen.
Die Massenverschiebung dmb , abhängig von der äuseren elektromagnetischen Energie, gleicht die Verschiebung der Trägheitsmasse, die von der Energiesteigerung im Teilchen abhängig ist, aus. Weil in diesem Fall die Verschiebung der Trägheitsmasse von der Geschwindigkeit des Teilchens V nicht abhängig ist, d.h., sie bezieht sich nur auf den absorbierten Moment q, kann sie bekommen werden wenn p=0 in der Variation DH= H’- H = c[q2+(mic)2]½- mic2 aus
der Hamiltonschen Funktion des Teilchens. Folglich, die Gleichung von dmb , wird geschrieben:
(1.03) dmb = DH/ c2 = {[ 1 + [ U/mic2[ ½ermr[ (1+(s/we )2)½+1] ]½]²]½- 1}mi
Beim Vergleichen der Gleichungen von mi und mg haben wir mg=mi - 2dmb .. Wenn wir dmb in dieser Gleichung, resultierend von der obigen Gleichung, ersetzen, bekommen wir die allgemeine Gleichung
der Korrelation zwischen schwere Masse und Trägheitsmasse:
(1.04) mg = mi - 2{[ 1 + [ U/mic2[ ½ermr[ (1+(s/we )2)½+1] ]½]²]½- 1}mi
Wir sehen, nur in Abwesenheit der elektromagnetischen Strahlung sind die schwere Masse und die Trägheitsmasse gleichwertig.
Beachten Sie dass die elektromagnetischen Eigenschaften e ,m und s nicht dem Teilchen zuzuschreiben sind, sondern dem äusseren Medium wodurch die Strahlung sich verbreitet. Im Fall eines Atoms inmitten eines Körpers, wird sich die einfallende Strahlung durch den Körper verbreiten und daher , s =sbody , e =ebody, m =mbody . Also, wenn w << sbody / ebody, wird die obige Gleichung zu :
(1.05) mg = ma - 2{[ 1+ [ U/mac2[ c2m bodys body / 4 p f]½]²] ½- 1}ma ,
wobei ma die Trägheitsmasse des Atoms ist. Somit sehen wir dass die schwere Masse der Atome (oder Moleküle) mittels ELF (extra low frequency) Strahlung reduziert werden kann.
Für den Einzelfall mr =er @ 1 ; s << we und U<<mic2 reduziert sich die allgemeine Gleichung für mg zu
(1.06) mg = [1 - ( U/mic2)2]mi
Im Falle der Wärmestrahlung ist es üblich die Energie der Photonen mit der Temperatur in Verbindung zu bringen: < hn > ~ kT ( k=1.38 ´ 10-23J/K ist die Konstante von Boltzmann). In diesem Fall, die Energie die von dem Teilchen absorbiert wird ist: U=h<hn>~hkT, ( h ist ein Teilchen-abhängiger Koefficient) und die obige Gleichung kann als
(1.07) mg = [1 - (hkT/mic2)2] mi wiedergeschrieben werden.
Wir nehmen T~ 300 K, und mi die Masse des Elektrons, dann werden wir haben: (hkT/mic2)2~ 2.5 ´ 10 - 15h2 . Für h ~ 0.1 , bekommen wir einen Wert der mit dem Wert der von Donoghue und Holstein bekommen wurde, übereinstimmt. Er ist gleich (2/3)pa (T/mi)2 ~ 3 ´ 10 - 17 .
2.Grundlegende Konsequenzen
Wie wir wissen, die Lagrange-Funktion für ein Teilchen ist L= -yc[1- V2/c2]½, wobei y das gegebene Teilchen charakterisiert. In der klassischen Mechanik wird jedes Teilchen von seiner Masse charakterisiert, also wurde es festgesetzt dass y=mic . Wie auch immer, als Konsequenz der neuen Gleichung für die schwere Masse, können wir sehen dass mg , genereller als mi das Teilchen charakterisieren kann, also, sollten wir schreiben y=mgc.
Das (-) Zeichen in der Lagrange-Funktion kommt von der Tatsache dass y , in S = -yòds , immer als positiv betrachtet war. Das (-) Zeichen wurde eingeführt weil mit einem (+) Zeichen, òds kein Minimum haben konnte.
Nichtdestoweniger, sehen wir dass y positive und auch negative Werte
annehmen kann, da die schwere Masse, im Gegensatz zu der Trägheitsmasse, auch negativ sein kann. Als Konsequenz, die Aktion für ein freies Teilchen ist:
(2.01) S = - ½y½òds = - ½mg½còds ,
und die Lagrange-Funktion:
(2.02) L = - ½mg½c2[ 1 - V2/ c2]½
Aus der obigen Gleichung resultiert
(2.03) p = ¶L/¶ V = ½mg½V [ 1- V2/ c2]-½
(2.04) F = dp/dt = ½mg½ [ 1- V2/c2 ]-½ dV/
dt or dp/ dt = ½mg½ [(1- V2/c2)3 ]-½ dV/ dt
Beachten Sie: in Abwesenheit des äusseren elektromagnetischen Feldes (U=0) und wenn V<<c , die obige Gleichung reduziert sich zu F=mi
a (das zweite Gesetz von Newton).
Aus der genannten Gleichung leiten wir die neue Gleichung für Trägheitskräfte ab:
(2.05) F=½Mg½a
wobei
(2.06) ½Mg½ =½mg½ [ 1-V2/c2 ]-½
die neue relativistische Gleichung für Masse ist.
Gemäss (2.05) sehen wir dass diese Kräfte ihren Ursprung in der Wechselwirkung zwischen Körper und die anderen Massen des Universums haben, genau so wie Machs Prinzip es voraussagt. Die
genannte Gleichung gliedert Machs Prinzip in die Gravitationstheorie ein und, mehr als das, offenbart dass die Trägheitseffekte eines Körpers reduziert und sogar anulliert werden können, wenn seine schwere Masse reduziert
oder anulliert werden kann.
Die neue relativistische Gleichung für Masse zeigt dass ein Teilchen ohne schwere Masse kein Subjekt für relativistische Effekte ist, weil unter diesen Bedingungen seine Masse, mit Zunahme der
Geschwindigkeit, nicht mehr zunimmt, d.h., seine Masse bleibt null, unabhängig von der Geschwindigkeit des Teilchens.
Dass heisst, ein Teilchen ohne schwere Masse kann die Lichtgeschwindigkeit erreichen und überschreiten. Es wird zu einem Teilchen mit Momentum p =½Mg½V
= 0 und Energie E =½Mg½c2= 0 . Es gibt nichts merkwürdiges bei dieser Art von Teilchen. Eigentlich wissen wir dass sie in der Allgemeinen Relativität als Lösung die die Existenz der “Geister-Neutrinos”
voraussagt, erscheinen . Diese Neutrinos werden so genannt weil sie, mit null Momentum und null Energie, nicht auffindig gemacht werden können. Aber auch so können sie präsent sein weil es eine Wellen-Funktion gibt die ihre
Präsenz beschreibt.
Die Tatsache dass ein trägheitsloser Referenzkörper einem bestimmten Gravitationsfeld äquivalent ist (die moderne Version des Äquivalenz-Prinzips) setzte voraus dass mi º mg weil die Trägheitskräfte von Fi=miai beschrieben
waren, während dessen die Gravitationskräfte von Fg=mgag beschrieben waren. Also, um die Äquivalenz ai=ag ,
Fi º Fg zu sichern, war es notwendig dass mi º mg
Nun, dank der neuen Gleichung für Trägheitskräfte (F=½mg½ai), können wir einfach beweisen dass die Äquivalenzen a
i º ag , Fi º Fg selbstverständlich sind und es nicht mehr notwendig ist dass mg º mi .
Mit anderen Worten, obwohl die moderne Fassung des Äquivalenzprinzips (auch bekannt als das starke Äquivalenzprinzip) bewahrt wird, ist die primitive Vorstellung dieses Prinzips
(das sogennante schwache Äquivalenzprinzip), wo die Äquivalenz der schwere- und Trägheitsmassen grundlegend war, beseitigt worden. Deswegen, weil die Gültigkeit des Äquivalenzprinzips wieder bestätigt ist, werden die
Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie bewahrt.
Wir definieren die Energie des Teilchens E als 9 , E = p.V-L. Also, wenn wir die Gleichungen von p und L an deren Stellen setzen, bekommen wir:
(2.07) E = ½mg½c2[ 1- V2/c2 ]-½
Wenn wir p und E ins Quadrat erheben und sie miteinander vergleichen, werden wir folgende Beziehung zwischen Energie und Momentum eines Teilchens finden:
(2.08) E2/c2 = p2+(mgc)2
Diese Gleichung in der Form E=c[ p2+(mgc)2]½ ist die gravitationale Hamiltonsche
Funktion des Teilchens. Sie ist die Gleichung für dessen interne Energie.
Wenn wir hier “Teilchen” sagen, sagen wir nicht “elementar”. Also, sind diese Gleichungen für alle komplexen Körper (aus mehreren Teilchen gemacht) gültig ; in dieser Weise werden mg die Gesamtmasse und V die Geschwindigkeit des Körpers sein.
Deswegen, im Fall eines stillstehenden (p = 0) und im Vakuum plazierten (mr=er =1, s=0) Teilchen-Systems, wo die äussere elektromagnetische Energie U nur aus Wärme besteht (and U<<mic2 ) wird die interne Energie des Systems zu
(2.09) E = mgc2 = ( mi - 2dmb )c2 = [ mi - (hkT/mic2)2]c2,
Wenn wir die Gleichung von dmb in Betracht ziehen und wenn mi= m + dm0 + dmb, dann ist es möglich die obige Gleichung wie folgt zu schreiben:
(2.10) E = mgc2= ( mi c2) - T¶( mi c2)/¶ T
in der wir die Hamiltonsche Funktion der Trägheit erkennen. Diese identifiziert sich, wie wir wissen, mit der freien Energie (F) des Systems:
(2.11) H=F
Also, können wir die Gleichung für E wie folgt schreiben:
(2.12) E = F - T(¶F/¶T)
Das ist eine bekannte Gleichung der Thermodynamik.
Wenn wir uns errinern dass ¶Q=¶t+¶E (erstes Prinzip der Thermodynamik) und F=E- TS (die Helmholtz-Funktion ), können wir einfach aus der Gleichung von E für ein isolliertes System ¶t = 0 folgendes bekommen:
(2.13) ¶Q = T¶ S .
Das ist die bekannte Differentialgleichung für Entropie.
3.Vereinheitlichung
Die Tik-Gleichung des Energie-Moment Tensors für ein Teilchen ist, wie wir wissen, von Tik = rc2mimk gegeben, wobei r die Dichte der schweren Masse ist. Also, ist mg für die Beschreibung des vom Teilchen produzierten Gravitationsfeldes grundlegend, weil, Tik eimal bekannt, können wir die Gleichung für das Gravitationsfeld aus Rik = 8pG/c4( Tik - ½gikT ) ableiten.
Wie wir vorher festgelegt haben, kann die schwere Masse eines Teilchens in folgender Form geschrieben werden:
(3.01) mg=mi - 2dmb =mi - 2(H’- H)/c2=[mi+2[(p/c)2+mi2]½]-2H’/ c2
In dieser Weise können wir sagen dass der Startpunkt für die Beschreibung des Gravitationsfeldes die Hamiltonsche-Funktion H’ ist:
(3.02) H’ = H + dmb c2 = c[p2+mi2c2] + dmb c2
Die absorbierte elektromagnetische Energie U hängt von der Auswirkung des Feldes auf das Teilchen, ab.
Die Eigenschaften des Teilchens sind, mit Beachtung dieser Auswirkung, nur für ein Parameter definiert: die elektrische Ladung Q. Ausserdem sind die Eigenschaften des Feldes vom elektrischen Potential jcharakterisiert. Also, hängt die absorbierte elektromagnetische Energie U nur von Q und j ab. Wir können also schreiben: U=Qj weil jeder Verhältnis-Faktor in j eingeschlossen werden kann. So wird die Gleichung für H’ mit der bekannten Hamiltonschen-Funktion
(3.05) H = mic2 [ 1- V2/c2 ]-½ + Qj ,
gleichwertig, wobei Q eine elektrische Ladung in einem elektromagnetischen Feld ist.
Aus dieser Gleichung ist es möglich eine komplette Beschreibung des elektromagnetischen Feldes zu bekommen, weil wir daraus die Hamilton-Jacobi Gleichung schreiben können, die uns erlaubt die Gleichungen für die Bewegung einer Ladung in einem elektromagnetischen Feld festzulegen. Wie wir wissen, ist die Hamilton-Jacobi Gleichung der Startpunkt einer allgemeinen Methode die Gleichungen für Bewegung zu integrieren. Daraus folgern wir dass, wenn U>>mic2 kann das Gravitationsfeld angefangen von der gleichen Hamiltonschen Funktion beschrieben werden, was uns die Beschreibung des elektromagnetischen Feldes erlaubt. Das bedeutet dass, unter diesen Umständen, das Gravitationsfeld und das elektromagnetische Feld vereinheitlicht sind.
In der GUT (Grand Unified Theory) wurde das Ur-Universum vereinfacht und bestand nur aus zwei Arten von Elementarteilchen: Bosonen und Fermionen. Wie auch immer, Bosonen und Fermionen sind in Supergravitation vereinigt: sie können ineinander umverwandelt werden, genau so wie Quarks in Leptonen verwandelt werden können, in der GUT. So, in einer Zeitspanne in der die Gravitation und das Elektromagnetismus vereinheitlicht waren (was passiert worden sein konnte vom Zeitpunkt Null bis zu einem Zeitpunkt tc @ 10-43s nach dem Big-Bang), muss das Universum extrem einfach gewesen worden sein
- mit nur einer Art von Teilchen (Ur-Teilchen).
Die Temperatur des Universums in der Zeitspanne 10-43s< t < 10-23s kann mit der bekannten Gleichung10 T~ 1022(t/10-23)-1/2 kalkulliert werden. Alles zeigt dass, im Moment tc, T ~ 1032K (~ 1019GeV) (als die erste spontane Symmetriebrechung geschah).
In der Zeitspanne 0-tc die Elektromagnetische Energie die von den Ur-Teilchen absorbiert wurde war U~h < hn > = hkT>>mppc2 ( mpp ist die Trägheitsmasse der Ur-Teilchen und hist, wie wir gesehen haben, ein vom Teilchen abhängiger Absorptionskoefficient). Das heisst dass in der obengenannten
Zeitspanne die Bedingung für die Vereinheitlichung der Gravitational- und elektromagnetischen Felder (U>>mic2)
erfüllt wurde und als Folge, die elektromagnetischen und gravitationalen Wechselwirkungen selbst, vereinheitlicht waren.
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